Inecuacioes: Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
$\forall x,\, x \in I\! \! R:\,\,\vert x\vert \geq 0$

Demostración

$x\, \in \, I\! \! R:\,\, \vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -x & \mbox{ si } & {x \geq 0}\\ \\ \par -x & \mbox{ si } & {x < 0} \end{array} \right.$

Hay dos posibles casos:
Caso 1: $x\geq0$

Caso 2:

$x<0\,\,\Rightarrow\,\,\vert x\vert = -x .^..\vert x\vert\geq0; \mbox{ pues }x<0 \Rightarrow -x>0$

Propiedad 2
Si $x \in I\! \! R\mbox{ y }\vert x\vert = 0 \mbox{ entonces } x = 0$
Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3
Si $x\, \in \, I\! \! R,\,y\, \in \, I\! \! R\mbox { entonces }\vert x*y\vert = \vert x\vert\,\vert y\vert$

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:
$\vert a\vert = \sqrt{a^{2}};\,\, \forall a,\, a\, \in \, I\! \! R$
Usando esta definición se tiene que:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/node2a.html

Inecuacioes

miércoles, 24 de agosto de 2011

Propiedades del valor absoluto

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