miércoles, 24 de agosto de 2011

Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
$\forall x,\, x \in I\! \! R:\,\,\vert x\vert \geq 0$

Demostración

$x\, \in \, I\! \! R:\,\, \vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -x & \mbox{ si } & {x
\geq 0}\\ \\
\par -x & \mbox{ si } & {x < 0} \end{array} \right.$

Hay dos posibles casos:
Caso 1: $x\geq0$



Caso 2: $x<0$
$x<0\,\,\Rightarrow\,\,\vert x\vert = -x
.^..\vert x\vert\geq0; \mbox{ pues }x<0 \Rightarrow -x>0$

Propiedad 2
Si $x \in I\! \! R\mbox{ y }\vert x\vert = 0 \mbox{ entonces } x = 0$
Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 3
Si $x\, \in \, I\! \! R,\,y\, \in \, I\! \! R\mbox { entonces }\vert x*y\vert = \vert x\vert\,\vert y\vert$

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:
$\vert a\vert = \sqrt{a^{2}};\,\, \forall a,\, a\, \in \, I\! \! R$
Usando esta definición se tiene que:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/node2a.html

Inecuaciones cuadraticas




Inecuaciones cuadráticas



  Definición
Sean a, b, c constantes reales tales que $a\neq 0$. Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma $ ax^2 + bx + c\,\,$ y el otro miembro es cero.
Son inecuaciones cuadráticas:
    a.) $2x^2 + 2x +1 < 0$ c.) $2x^2 + 8 > 0$
    b.) $x^2 -5x + 6 \geq 0$  ch.) $3x^2 -27 \leq 0$
Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.
Caso 1:
Consideremos como caso $1$, aquel en el cual la expresión $ax^2 + bx +c $ es factorizable ( $\triangle \geq 0$). Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión $ax^2 + bx +c $, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos")
Recuerde que si la expresión $\,ax^2 + bx +c \,$ es factorizable entonces se cumple que:

ejercicios resueltos


http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/s_e.html

Ejercicios resueltos de inecuaciones de segundo grado

x2 − 6x + 8 > 0

x2 − 6x + 8 = 0solución a la ecuación

P(0) = 0− 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3− 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5− 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

gráfica
S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)

otro tipo de ecuacion

imagen de inecuación

imagenes

Inecuaciones cuadraticas




Inecuaciones cuadráticas

  Definición
 Sean a, b, c constantes reales tales que $a\neq 0$. Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma $ ax^2 + bx + c\,\,$ y el otro miembro es cero.
Son inecuaciones cuadráticas:
    a.) $2x^2 + 2x +1 < 0$ c.) $2x^2 + 8 > 0$
    b.) $x^2 -5x + 6 \geq 0$  ch.) $3x^2 -27 \leq 0$
Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.
Caso 1:
Consideremos como caso $1$, aquel en el cual la expresión $ax^2 + bx +c $ es factorizable ( $\triangle \geq 0$). Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión $ax^2 + bx +c $, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos")
Recuerde que si la expresión $\,ax^2 + bx +c \,$ es factorizable entonces se cumple que:
$ax^2 + bx +c = a(x-x_1)(x-x_2)$